Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）．

【解析】

（1）函數(shù)求導得，根據(jù)根的大小，分 ，， 三種情況討論求解.

（2）根據(jù)不等式在區(qū)間上恒成立，當時，恒成立，當時，轉(zhuǎn)化為，恒成立，令，利用導數(shù)法求其最小值即可.

（1），

即，當時，在上單調(diào)遞增；

當，即時，由，得或，由，得，

所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當，即時，由，得或，由，得，

所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．

綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；

當時，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當時，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．

（2）因為不等式在區(qū)間上恒成立，

所以當時，恒成立，當時，，

令，

則，由（1）得，當時，在上單調(diào)遞增，

又因為，所以時，；時，，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，

所以．

綜上，的取值范圍為．