Question

四棱錐P-ABCD的四條側(cè)棱長(zhǎng)相等，底面ABCD為正方形，M為PB的中點(diǎn)，求證：
（1）PD∥面ACM；
（2）PO⊥面ABCD；
（3）面ACM⊥面BPD．

Answer 1

證明：（1）連接OM，正方形ABCD中，OB=OD，
M為PB的中點(diǎn)
∴PD∥OM
∵OM?面ACM，PD不在面ACM內(nèi)
∴PD∥面ACM
（2）∵PA=PC，OA=OC，∴PO⊥AC，同理PO⊥BD
AC∩BD=O
∴PO⊥面ABCD
（3）∵PO⊥面ABCD
∴PO⊥AC
正方形ABCD中，DB⊥AC
DB∩PO=O
∴AC⊥面BDP，
∵AC?面ACM
∴面ACM⊥面BDP
分析：（1）欲證PD∥面ACM，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PD與面ACM內(nèi)一直線平行即可，連接OM，而OB=OD，則PD∥OM，OM?面ACM，PD不在面ACM內(nèi)，滿足定理所需條件；
（2）欲證PO⊥面ABCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PO與面ABCD內(nèi)兩相交直線垂直，而PA=PC，OA=OC，則PO⊥AC，同理PO⊥BD，AC∩BD=O，滿足定理所需條件；
（3）欲證面ACM⊥面BDP，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ACM內(nèi)一直線與平面BDP垂直，根據(jù)PO⊥面ABCD，則PO⊥AC，DB⊥AC，DB∩PO=O，滿足線面垂直的判定定理，則AC⊥面BDP，AC?面ACM，滿足定理所需條件．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定和平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．