Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取CE的中點G，由三角形的中位線性質(zhì)證明四邊形GFAB為平行四邊形，得到AF∥BG，從而證明AF∥平面BCE．
（2）通過證明AF⊥CD，DE⊥AF，從而證明AF⊥平面CDE，再利用BG∥AF證明BG⊥平面CDE，進而證明平面BCE⊥平面CDE．
（3）在平面CDE內(nèi)，過F作FH⊥CE于H，由平面BCE⊥平面CDE，得 FH⊥平面BCE，故∠FBH為BF和平面BCE所成的角，解Rt△FHB求出∠FBH的正弦值．

解答：（1）證明：取CE的中點G，連FG、BG．
∵F為CD的中點，∴GF∥DE且GF=

1

2

DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB．
∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
（3）解：在平面CDE內(nèi)，過F作FH⊥CE于H，連BH．
∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE．
∴∠FBH為BF和平面BCE所成的角．
設(shè)AD=DE=2AB=2a，則FH=CFsin45°=

2

2

a，BF=

AB2+AF2

=

a2+( 3a )2

=2a，
Rt△FHB中，sin∠FBH=

FH

BF

=

2

4

．
∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為

2

4

．

點評：本題考查證明線面平行的方法，2個平面垂直的方法，求直線與平面成的角的方法，屬于中檔題．