Question

如圖在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，為的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且.

（1）求證：平面；
（2）證明：∥平面；
（3）求二面角的度數(shù).

Answer 1

（1）答案詳見解析；（2）答案詳見解析；（3）

試題分析：

（1）常用的證明直線和平面垂直的方法有兩種：①證明直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；②若兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．本題易證，由平面平面，從而證明平面；（2）證明直線和平面平行的常用方法有兩種：①證明直線和平面內(nèi)的一條直線平行；②若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面．本題中，連接，交于，連接，易證，故，進(jìn)而證明∥平面；（3）
選三條兩兩垂直的三條直線分別作為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，分別求兩個(gè)半平面的法向量并求其夾角，然后觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，從而決定取正或負(fù)角．
試題解析：（1）由已知，為的中點(diǎn)，，又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824043404077468.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且平面平面=，面，∴平面．
（2）連接，交于，連接，因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824043404030526.png" style="vertical-align:middle;" />是菱形，∴，∴∽，,∴,，又，,∴，又平面，平面，∴∥平面．
（3）連結(jié)，底面是菱形，且，是等邊三角形，由（1）平面..以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸軸軸建立空間直角坐標(biāo)系
則.    10分
設(shè)平面的法向量為，，注意到∥
，解得是平面的一個(gè)法向量  12分
又平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，，∴，即二面角二面角的度數(shù)為．