精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E為AB的中點(diǎn),現(xiàn)將△AED沿DE折起,使點(diǎn)A到點(diǎn)P處,滿足PB=PC,設(shè)M、H分別為PC、DE的中點(diǎn).
(1)求證:BM∥平面PDE;
(2)線段BC上是否存在一點(diǎn)N,使BC⊥平面PHN?試證明你的結(jié)論;
(3)求△PBC的面積.
分析:(1)取PD的中點(diǎn)F,連接EF,F(xiàn)M,由中位定理,及平行四邊形判定定理易得四邊形EFMB是平行四邊形,進(jìn)而BM∥EF,再由線面垂直的判定定理,即可得到BM∥平面PDE;
(2)取N為BC的中點(diǎn),連接HN,易得HN為直角梯形BCDE的中位線,結(jié)合PB=PC,我們可得HN⊥BC,PN⊥BC,由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面PHN;
(3)由已知中△PBC是以BC為底,PN為高的三角形,根據(jù)(2)的結(jié)論,我們易得△PHN為直角三角形,根據(jù)已知中AB=2AD=4,求出△PBC的底邊長(zhǎng)和高,代入三角形面積公式,即可得到答案.
解答:精英家教網(wǎng)證明:(1)取PD的中點(diǎn)F,連接EF,F(xiàn)M
由條件知:FM平行且等于DC的一半,EB平行且等于DC的一半
∴FM∥EB,且FM=EB
則四邊形EFMB是平行四邊形
則BM∥EF
∵BM?平面PDE,EF?平面PDE
∴BM∥平面PDE;
解:(2)當(dāng)N為BC的中點(diǎn)時(shí),BC⊥平面PHN,理由如下:
由題意得,HN為直角梯形BCDE的中位線
∴HN⊥BC
∵PB=PC
∴PN⊥BC
又∵HN∩PN=N
∴BC⊥平面PHN,
(3)由(2)中結(jié)論可得,BC⊥PH,
又∵PH⊥DE
故PH⊥底面BCDE
則PH⊥HN,即△PHN為直角三角形
∵AB=2AD=4,E為AB的中點(diǎn)
∴BC=2,HN=3,PH=
2
,則PN=
11

∴△PBC的面積S=
1
2
•BC•PN=
11
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的定義、判定定理、性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點(diǎn),EP⊥平面ABCD.
(1) 求證:AQ∥平面CEP;
(2) 求證:平面AEQ⊥平面DEP.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=3
3
,BC=3,沿對(duì)角線BD將BCD折起,使點(diǎn)C移到點(diǎn)C′,且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
(1)求證:BC′⊥面ADC′;
(2)求二面角A-BC′-D的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=1,E、F分別是AB的兩個(gè)三等分點(diǎn),AC,DF相交于點(diǎn)G,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系:
(1)若動(dòng)點(diǎn)M到D點(diǎn)距離等于它到C點(diǎn)距離的兩倍,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積;
(2)證明:E G⊥D F.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=
12
BC,E為AD的中點(diǎn),將△ABE沿BE折起,使平面ABE⊥平面BCDE.
(1)求證:CE⊥AB;
(2)在線段BC上找一點(diǎn)F,使DF∥平面ABE.

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