Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．
（Ⅰ）設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在△ABD中，
由于AD=4，BD=8，AB=4，所以AD²+BD²=AB²，所以AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（4，0，0），P（2，0，2），B（0，8，0）
∴，
設平面PAB的法向量為
由可得，取
同理可得平面PBD的法向量為
∴cos==
∴二面角A-PB-D的余弦值為．
分析：（I）欲證平面MBD⊥平面PAD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面MBD內一直線與平面PAD垂直，而根據(jù)平面PAD與平面ABCD垂直的性質定理可知BD⊥平面PAD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面PAB的法向量，平面PBD的法向量為，利用向量的數(shù)量積公式，可求二面角A-PB-D的余弦值．
點評：本題主要考查平面與平面垂直的判定，考查空間角解題的關鍵是掌握面面垂直的判定，正確運用向量法求解空間角．