Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，若直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切；

（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）在曲線(xiàn)上取兩點(diǎn)，與原點(diǎn)構(gòu)成，且滿(mǎn)足，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）求出直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為y2，曲線(xiàn)C是圓心為（，1），半徑為r的圓，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相切，求出r＝2，曲線(xiàn)C的普通方程為（x）2+（y﹣1）2＝4，由此能求出曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程．（2）設(shè)M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），由2sin（2），由此能求出△MON面積的最大值．

（1）∵直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為，

∴由題意可知直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為y2，

曲線(xiàn)C是圓心為（，1），半徑為r的圓，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相切，

可得r2，

∵曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（r＞0，φ為參數(shù)），

∴曲線(xiàn)C的普通方程為（x）2+（y﹣1）2＝4，

所以曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，

即．

（2）由（Ⅰ）不妨設(shè)M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），

4sin（）sin（）＝2sinθcosθ+2

＝sin2θ2sin（2），

當(dāng)時(shí)，，故

所以△MON面積的最大值為2．