【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,證明:對任意的實數(shù),都有.
【答案】(1)當時,在上單調(diào)遞增;當時,的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;(2)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為證明,先證出,再證明令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
試題解析:(1)定義域為,,
①當時,,在上單調(diào)遞增,
②當時,令,有,
0 | |||
↘ | 極小值 | ↗ |
所以的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.
綜合①②,當時,在上單調(diào)遞增;當時,的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.
(2)要證明,即證明,
下面先證明:,
構(gòu)造函數(shù),,
令得,當時,即在上單調(diào)遞增,
∴,
于是有,,
∴當時,,
從而.
接下來只需證:,
即證:,
令,則,
所以在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,
即,
∵時,,
∴,
∴.
點晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性,及不等式的證明問題.要求單調(diào)性,求導比較導方程的根的大小,解不等式可得單調(diào)區(qū)間,要證明不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào),只需要證明其導函數(shù)大于等于0(或者恒小于等于0即可),要證明一個不等式,我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù),求其值最值即可.這類問題的通解方法就是:劃歸與轉(zhuǎn)化之后,就可以假設(shè)相對應(yīng)的函數(shù),然后利用導數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,圖像與性質(zhì),進而求解得結(jié)果.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商店會員活動日.
(Ⅰ)隨機抽取50名會員對商場進行綜合評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)估計會員對商場的評分不低于80的概率.
(Ⅱ)采取摸球兌獎的方式對會員進行返代金券活動,每位會員從一個裝有5個標有面值的球(2個所標的面值為300元,其余3個均為100元)的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該會員所獲的代金券金額.求某會員所獲得獎勵超過400元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人約定在中午12時到下午1時之間到某站乘公共汽車,又知這段時間內(nèi)有4班公共汽車.設(shè)到站時間分別為12:15,12:30,12:45,1:00.如果他們約定:
①見車就乘;
②最多等一輛.
試分別求出在兩種情況下兩人同乘一輛車的概率.假設(shè)甲乙兩人到達車站的時間是相互獨立的,且每人在中午12點到1點的任意時刻到達車站是等可能的.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+ )﹣1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)f(x)的定義域為 ,求單調(diào)遞減區(qū)間和值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】A,B兩名同學在5次數(shù)學考試中的成績統(tǒng)計如下面的莖葉圖所示,若A,B兩人的平均成績分別是xA , xB , 觀察莖葉圖,下列結(jié)論正確的是( )
A.xA<xB , B比A成績穩(wěn)定
B.xA>xB , B比A成績穩(wěn)定
C.xA<xB , A比B成績穩(wěn)定
D.xA>xB , A比B成績穩(wěn)定
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校一個生物興趣小組對學校的人工湖中養(yǎng)殖的某種魚類進行觀測研究,在飼料充足的前提下,興趣小組對飼養(yǎng)時間x(單位:月)與這種魚類的平均體重y(單位:千克)得到一組觀測值,如下表:
xi(月) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
yi(千克) | 0.5 | 0.9 | 1.7 | 2.1 | 2.8 |
(參考公式: = , = ﹣ )
(1)在給出的坐標系中,畫出關(guān)于x,y兩個相關(guān)變量的散點圖.
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出變量y關(guān)于變量x的線性回歸直線方程 .
(3)預(yù)測飼養(yǎng)滿12個月時,這種魚的平均體重(單位:千克)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】求適合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)以(0,5)和(0,-5)為焦點,且橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為26;
(2)以橢圓9x2+5y2=45的焦點為焦點,且經(jīng)過M(2, ).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB).
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)在上述△ABC中,若角C的對邊c=1,求該三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
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