Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n＞1，求證：f(

n

n-1

)＞0，且不等式lnn＞Inn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

都成立．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，可得當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式a≥

1

x

恒成立，求出

1

x

的最大值，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=

x-1

x2

確定函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值與最小值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，由（Ⅰ）知f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上是增函數(shù)，可證明ln

n

n-1

＞

1

n

，疊加，即可證得結(jié)論．

解答：（I）解：由題設(shè)可得f′(x)=

ax-1

ax2

(a＞0)
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式f′(x)=

ax-1

ax2

≥0即a≥

1

x

恒成立．
∵當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，

1

x

的最大值為1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）；------------（4分）
（Ⅱ）解：當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=

x-1

x2

∴當(dāng)x∈[

1

2

，1)時(shí)，f'（x）＜0，于是f（x）在[

1

2

，1)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f'（x）＞0，于是f（x）在（1，2]上單調(diào)遞增．
又f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

＞0⇒f(

1

2

)＞f(2)
綜上所述，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最小值為f（1）=0，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，
函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為f(

1

2

)=1-ln2--------------------（8分）
（Ⅲ）證明：當(dāng)a=1時(shí)，由（Ⅰ）知f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上是增函數(shù)
∴對(duì)于任意的正整數(shù)n＞1，有

n

n-1

＞1，則f(

n

n-1

)＞f(1)=0--------------（10分）
而f(

n

n-1

)=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，
∴ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．
而ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

=lnn，
則lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

成立----------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性．