已知、
分別是橢圓C:
的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)系原點(diǎn), 且橢圓C的焦距為6, 過(guò)
的弦
兩端點(diǎn)
與
所成⊿
的周長(zhǎng)是
.
(Ⅰ).求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ) 已知點(diǎn),
是橢圓C上不同的兩點(diǎn),線段
的中點(diǎn)為
.
求直線的方程;
(Ⅲ)若線段的垂直平分線與橢圓C交于點(diǎn)
、
,試問(wèn)四點(diǎn)
、
、
、
是否在同一個(gè)圓上,若是,求出該圓的方程;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(Ⅰ) 解:設(shè)橢圓C: 的焦距為2c,
∵橢圓C: 的焦距為2, ∴2c=6,即c=3…………1分
又∵、
分別是橢圓C:
的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),且過(guò)
的弦AB兩端點(diǎn)A、B與
所成⊿AB
的周長(zhǎng)是
.
∴⊿AB的周長(zhǎng) = AB+(AF2+BF2)= (AF1+BF1)+
(AF2+BF2)=4
=
∴
…………2分
又∵, ∴
∴橢圓C的方程是
…………4分
(Ⅱ)解一: 點(diǎn)
,
是橢圓C上不同的兩點(diǎn),
∴,
.以上兩式相減得:
,
即,
,
∵線段的中點(diǎn)為
,∴
.
∴,
當(dāng),由上式知,
則
重合,與已知矛盾,因此
,
∴. ∴直線
的方程為
,即
.
由 消去
,得
,解得
或
.
∴所求直線的方程為
. ………………8分
解二: 當(dāng)直線的不存在時(shí),
的中點(diǎn)在
軸上, 不符合題意.
故可設(shè)直線的方程為
,
.
由 消去
,得
(*)
.
的中點(diǎn)為
,
.
.解得
.
此時(shí)方程(*)為,其判別式
.∴直線
的方程為
.
(Ⅲ)由于直線的方程為
,
則線段的垂直平分線
的方程為
,即
.
由 得
,
由消去
得
,設(shè)
則.
∴線段的中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為
,縱坐標(biāo)
.
∴.
∴.
∵,
,
∴四點(diǎn)、
、
、
在同一個(gè)圓上,此圓的圓心為點(diǎn)G,半徑為
,
其方程為.
…………14分
【解析】略
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年廣東北江中學(xué)第一學(xué)期期末考試高二文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
已知、
分別是橢圓C:
的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)系原點(diǎn), 且橢圓C的焦距為6, 過(guò)
的弦AB兩端點(diǎn)A、B與
所成
的周長(zhǎng)是
.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn),
是橢圓C上不同的兩點(diǎn),線段
的中點(diǎn)為
,
求直線的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆山東省濟(jì)寧市高二3月月考數(shù)學(xué)理科試卷(解析版) 題型:選擇題
已知點(diǎn)分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn),過(guò)
且垂直于
軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),若
為正三角形,則該橢圓的離心率
是(
)
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012屆廣東北江中學(xué)第一學(xué)期期末考試高二文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
已知、
分別是橢圓C:
的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)系原點(diǎn), 且橢圓C的焦距為6, 過(guò)
的弦AB兩端點(diǎn)A、B與
所成
的周長(zhǎng)是
.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ) 已知點(diǎn),
是橢圓C上不同的兩點(diǎn),線段
的中點(diǎn)為
,
求直線的方程
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