Question

設函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，設常數(shù)b＜2

2

-3，且對任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：由于b＜0，于是當x=0時f（x）＜0恒成立，此時a∈R；只需討論x∈（0，1]時，f（x）＜0恒成立即可，即

a＞(x+ b x )max，(1) a＜(x- b x )min，(2)

即可．對（1）（2）兩式分別研究討論即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵b＜2

2

-3＜0，
∴當x=0時，a取任意實數(shù)不等式恒成立，故考慮x∈（0，1]時，原不等式變?yōu)閨x-a|＜-

b

x

，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

，
∴只需對x∈（0，1]滿足

a＞(x+ b x )max，(1) a＜(x- b x )min，(2)

．
對（1）式，由b＜0時，在（0，1]上，f（x）=x+

b

x

為增函數(shù)，
∴(x+

b

x

)max=f（1）=1+b
∴a＞1+b．（3）
對（2）式，①當-1≤b＜0時，在（0，1]上，x-

b

x

=x+

-b

x

≥2

-b

（當且僅當x=-

b

x

，即x=

-b

時取等號）；
∴(x-

b

x

)min=2

-b

．
∴a＜2

-b

．（4）
由（3）、（4），要使a存在，必須有

1+b＜2 -b -1≤b＜0

，解得-1≤b＜-3+2

2

．
∴當-1≤b＜-3+2

2

時，1+b＜a＜2

-b

．
②當b＜-1時，在（0，1]上，f（x）=x-

b

x

為減函數(shù)，
∴(x-

b

x

)min=f（1）=1+b，
∴當b＜-1時，1+b＜a＜1-b．
綜上所述，當-1≤b＜2

2

-3時a的取值范圍是（1+b，2

-b

）；
當b＜-1時，a的取值范圍是（1+b，1-b）．

點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查函數(shù)恒成立問題，突出考查轉化思想與分類討論思想、方程思想的綜合應用應用，考查邏輯思維能力與運算能力，屬于難題．