Question

已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若|AF|=4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若直線(xiàn)l的傾斜角為45°，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

解：由y²=4x，得p=2，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，焦點(diǎn)F（1，0）．（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）由拋物線(xiàn)的定義可知，|AF|=，從而x₁=3．
代入y²=4x，解得．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2）或（3，-2）．（6分）
（2）直線(xiàn)l的方程為y-0=tan45°（x-1），即y=x-1．
與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得，（9分）
消y，整理得x²-6x+1=0，其兩根為x₁，x₂，且x₁+x₂=6．
由拋物線(xiàn)的定義可知，|AB|=p+x₁+x₂=6+2=8．
所以，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)是8．（12分）
分析：（1）由y²=4x，得p=2，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，焦點(diǎn)F（1，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由拋物線(xiàn)的定義可知，|AF|=，從而x₁=3．由此能得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）直線(xiàn)l的方程為y=x-1．與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得，整理得x²-6x+1=0，其兩根為x₁，x₂，且x₁+x₂=6．由拋物線(xiàn)的定義可知線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意拋物線(xiàn)性質(zhì)的合理運(yùn)用．