Question

已知集合A={t|2-a＜t＜2+a，a＞0}，B表示使方程

x2

2t-1

+

y2

2t+7

=1為雙曲線的實數t的集合．
（1）當a=3時，判斷“t∈A”是“t∈B”的什么條件？
（2）若“t∈A”是“t∈B”的必要不充分條件，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：（1）根據條件可求出B={t|-

7

2

＜t＜

1

2

}，將a=3帶入集合A得A={t|-1＜t＜5}，容易判斷t∈A得不出t∈B，t∈B得不出t∈A，所以“t∈A”是“t∈B”的既不充分又不必要條件；
（2）根據“t∈A”是“t∈B”的必要不充分條件，便可得到

2+a≥ 1 2 2-a≤- 7 2 a＞0

，解該不等式組即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）因為方程

x2

2t-1

+

y2

2t+7

=1要表示雙曲線；
∴（2t-1）（2t+7）＜0；
解得-

7

2

＜t＜

1

2

；
所以B={t|-

7

2

＜t＜

1

2

}；
又∵a=3，∴A={t|-1＜t＜5}；
∵“t∈A”得不到“t∈B”，“t∈B”得不到“t∈A”；
所以“t∈A”是“t∈B”的既不必要也不充分條件；
（2）∵“t∈A”是“t∈B”必要不充分條件；
∴

a+2≥ 1 2 2-a≤- 7 2 a＞0.

，
∴a≥

11

2

；
∴a的取值范圍為[

11

2

，+∞)．

點評：考查描述法表示集合，雙曲線的標準方程，以及充分條件，必要條件，既不充分也不必要條件，必要不充分條件的概念．