Question

已知直線l：ax+y=1在矩陣A=

1 2 0 1

對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本�l′：x+by=1．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求矩陣A的特征值與特征向量．

Answer 1

考點(diǎn)：矩陣特征值的定義,特征向量的定義

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（1）任取直線l：ax+y=1上一點(diǎn)M（x，y），經(jīng)矩陣A變換后點(diǎn)為M′（x′，y′），利用矩陣乘法得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出直線l′的方程，從而建立關(guān)于a，b的方程，即可求得實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）先根據(jù)特征方程，求出特征值，然后把特征值代入Aα=λα，從而求出特征向量．

解答： 解：（1）設(shè)直線l：ax+y=1上任意點(diǎn)M（x，y）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是M′（x′，y′）．
由

x′ y′

=

1 2 0 1

x y

，得

x′=x+2y y′=y

又點(diǎn)M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1
即x+（b+2）y=1．
依題意，得

a=1 b+2=1

解得a=1，b=-1；
（2）f（λ）=（λ-1）²，得矩陣A特征值為λ₁=λ₂=1，
將λ₁=λ₂=1代入方程Aα=λα可解得矩陣A屬于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量為

1 0

．

點(diǎn)評(píng)：本題以矩陣為依托，考查矩陣的乘法，考查考查特征值與特征向量，關(guān)鍵是正確利用矩陣的乘法公式．