(1)山水城市鎮(zhèn)江有“三山”--金山、焦山、北固山,一位游客游覽這三個景點的概率都是0.5,且該游客是否游覽這三個景點相互獨立,用ξ表示這位游客游覽的景點數(shù)和沒有游覽的景點數(shù)差的絕對值,求ξ的分布列和數(shù)學期望;
(2)某城市有n(n為奇數(shù),n≥3)個景點,一位游客游覽每個景點的概率都是0.5,且該游客是否游覽這n個景點相互獨立,用ξ表示這位游客游覽的景點數(shù)和沒有游覽的景點數(shù)差的絕對值,求ξ的分布列和數(shù)學期望.
解:(1)游客游覽景點個數(shù)為0,1,2,3,ξ可能取值為:1,3,
P(ξ=1)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9197.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1773.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/116729.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422744.png)
=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3772.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2179.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
,
P(ξ=3)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22454.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22454.png)
=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22454.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
,
ξ的分布列為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d6038ed6116.png)
所以Eξ=1×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
+3×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
.
(2)當n=2k+1,k∈N
*時,游客游覽景點個數(shù)可能為:0,1,2,…,2k+1,
ξ可能取值為:1,3,5,…,2k+1.
P(ξ=1)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422745.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422746.png)
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422748.png)
;
P(ξ=3)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422749.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422750.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422751.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422752.png)
;
…
P(ξ=2k+1)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422753.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422754.png)
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
,
∴ξ的分布列為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d6038f0794b.png)
∴Eξ=(2k+1-0)×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
+[(2k+1-1)-1]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422756.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
+[(2k+1-2)-2]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422757.png)
+…+[2k+1-k)-k]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422748.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
{[(2k+1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
+2k
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422756.png)
+(2k-1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422758.png)
+…+(2k+1-k)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422748.png)
]-[(0×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
+1
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422759.png)
+2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422758.png)
+…+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422760.png)
]}
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
{[(2k+1)×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422761.png)
+2k×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422762.png)
+(2k-1)×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422763.png)
+…+(k+1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422764.png)
]-[0×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
+1×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422756.png)
+…+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422760.png)
]},
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422765.png)
=n
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422766.png)
(i=1,2,3,…,n),
Eξ=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
{(2k+1)×[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422767.png)
]-(2k+1)×[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422768.png)
]}
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
×(2k+1)×[(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422767.png)
)-(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422769.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422770.png)
)]
=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
×(2k+1)×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422771.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422772.png)
.
答:ξ的數(shù)學期望Eξ為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422772.png)
.
分析:(1)游客游覽景點個數(shù)為0,1,2,3,ξ可能取值為:1,3,ξ=1表示游覽一個景點或游覽兩個景點,ξ=3表示游覽景點數(shù)為0或游覽了三個景點,根據(jù)n次獨立重復試驗中事件發(fā)生k的概率公式即可求得P(ξ=1),P(ξ=3),進而得到分布列和期望;
(2)當n=2k+1,k∈N
*時,游客游覽景點個數(shù)可能為:0,1,2,…,2k+1,則ξ可能取值為:1,3,5,…,2k+1.根據(jù)獨立重復試驗中事件A發(fā)生k次的概率計算公式求出ξ取各值是的概率,表示出Eξ=(2k+1-0)×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422755.png)
+[(2k+1-1)-1]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422756.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
+[(2k+1-2)-2]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422757.png)
+…+[2k+1-k)-k]×2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422748.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422747.png)
,分組后利用性質(zhì)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422765.png)
=n
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/422766.png)
(i=1,2,3,…,n)對上式即可進行化簡,最后再換為n即可;
點評:本題考查離散型隨機變量的分布列、期望,考查n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生k的概率計算公式,考查組合數(shù)性質(zhì)應用,考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力,本題綜合性強,能力要求高,屬難題.