Question

8．（1）將二次函數(shù)h（x）=x²的圖象先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到函數(shù)f（x）的圖象，寫出函數(shù)f（x）的解析式，并求出x∈[0，4]時(shí)函數(shù)f（x）的值域．
（2）求f（x）=x²-2ax-1在區(qū)間[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換可得f（x）的解析式．利用單調(diào)性可求值域．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性討論其最小值即可．

解答 解：（1）二次函數(shù)h（x）=x²的圖象先向右平移1個(gè)單位，
可得：y=（x+1）²，
再向下平移2個(gè)單位得到，y=（x-1）²-2．
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=（x-1）²-2．
對(duì)稱軸x=1，開口向上，
∵x∈[0，4]，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值為-2．
當(dāng)x=4時(shí)，f（x）取得最大值為7．
∴函數(shù)f（x）的值域[-2，7]
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax-1，
對(duì)稱軸x=a，開口向上，
∵x在區(qū)間[0，2]上，
當(dāng)a≤0時(shí)，則x=0時(shí)，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-1；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，則x=a時(shí)，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-a²-1；
當(dāng)a≥2時(shí)，則x=2時(shí)，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-4a+3；
故得f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-1，a≤0}\\{-{a}^{2}-1，0＜a＜2}\\{-4a+3，a≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的平移和最小值的討論問題．屬于基礎(chǔ)題．