Question

已知直線l的方程為x=-2，且直線l與x軸交于點M，圓O：x²+y²=1 與x軸交于A，B兩點．
（1）求以l為準線，中心在原點，且與圓O恰有兩個公共點的橢圓方程；
（2）過M點作直線l₁與圓相切于點N，設（2）中橢圓的兩個焦點分別為F₁F₂，求三角形△NF₁F₂面積．

Answer 1

解：（1）設橢圓方程為，半焦距為c，則
∵橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點，根據橢圓與圓的對稱性，
則a=1或b=1
當a=1時，c=，b²=a²-c²=，
∴所求橢圓方程為；
當b=1時，b²+c²=2c，∴c=1，∴a²=b²+c²=2
∴所求橢圓方程為；
（2）設切點為N，則由題意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，
N點的坐標為，
若橢圓為，其焦點F₁，F₂分別為A（-1，0），B（1，0），
故=，
若橢圓為，其焦點為，
此時=．
分析：（1）由題意設出焦點在x軸上的橢圓的標準方程，根據橢圓經過y軸上的點（0，1），分長半軸等于1和短半軸等于1兩種情況求解橢圓的標準方程；
（2）由平面幾何知識求出點N的坐標，求出兩個橢圓的焦點坐標，直接利用三角形的面積公式求三角形△NF₁F₂面積．
點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了圓與圓錐曲線的綜合，考查了分類討論的數學思想方法，屬中檔題．