Question

如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD，則a=（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：利用三垂線定理的逆定理、直線與圓相切的判定與性質、矩形的性質、平行線的性質即可求出．

解答： 解：連接AQ，取AD的中點O，連接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，
由三垂線定理的逆定理可得DQ⊥AQ．
∴點Q在以線段AD的中點O為圓心的圓上，
又∵在BC上有且僅有一個點Q滿足PQ⊥DQ，∴BC與圓O相切，（否則相交就有兩點滿足垂直，矛盾．）
∴OQ⊥BC，
∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2．
故選B．

點評：本題體現(xiàn)轉化的數(shù)學思想，轉化為以AD為直徑的圓與邊BC有交點，熟練掌握三垂線定理的逆定理、直線與圓相切的判定與性質、矩形的性質、平行線的性質是解題的關鍵．