【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， 和均為等邊三角形，且平面平面，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先證四邊形為矩形 ， ，再證得， ， 四邊形是平行四邊形 面；(2)先建立坐標(biāo)系求得面、面的法向量分別為， ， 所求的余弦值： .


試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接；

取的中點(diǎn)，連接

∵是等邊底邊的中線，

∴.

∵，

∴四邊形為矩形，

∴， .

∵為底邊的中位線

∴， ，

∴， ，

四邊形是平行四邊形，

∴，

∵面，

∴面.

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸正方向， 為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系

如圖所示，各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， ， ，

因此向量， ， .

設(shè)面、面的法向量分別為， ，

則，不妨令，解得，同理得

設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，

則

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】中國(guó)第一高摩天輪“南昌之星摩天輪”高度為，其中心距地面，半徑為，若某人從最低點(diǎn)處登上摩天輪，摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，那么此人與地面的距離將隨時(shí)間變化，后達(dá)到最高點(diǎn)，從登上摩天輪時(shí)開始計(jì)時(shí).

（1）求出人與地面距離與時(shí)間的函數(shù)解析式；

（2）從登上摩天輪到旋轉(zhuǎn)一周過(guò)程中，有多長(zhǎng)時(shí)間人與地面距離大于.

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【題目】平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為.

（1）求的長(zhǎng)；

（2）求異面直線與夾角的余弦值.

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【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點(diǎn)．

（1）證明：EF∥平面PAB；

（2）若二面角P－AD－B為60°．

①證明：平面PBC⊥平面ABCD；

②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在軸上的圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和，直線的方程為.

（1）求圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，為直線上的定點(diǎn)，若圓上存在唯一一點(diǎn)滿足，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)A，B為圓上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，若以AB為直徑的圓與直線都沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】知向量，，函數(shù)，若的圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為，且圖象過(guò)點(diǎn).

（1）求表達(dá)式和的單調(diào)增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤(rùn)分別為2千元/件、1千元/件.甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用設(shè)備2小時(shí)， 設(shè)備6小時(shí)；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用設(shè)備3小時(shí)， 設(shè)備1小時(shí). 兩種設(shè)備每月可使用時(shí)間數(shù)分別為480小時(shí)、960小時(shí)，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時(shí)售出，則該企業(yè)每月利潤(rùn)的最大值為（ ）

A. 320千元 B. 360千元 C. 400千元 D. 440千元

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， 是等邊三角形， 為的中點(diǎn)，四邊形為直角梯形， .

（1）求證：平面平面；

（2）求四棱錐的體積；

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