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8.若函數(shù)f(x)=x2+ln(x+a)與g(x)=x2+ex-12(x<0)的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點,則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,e).

分析 由題意可得,存在x<0使f(-x)-g(x)=0,即ex-12-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解,從而化為函數(shù)m(x)=ex-12-ln(-x+a)在(-∞,0)上有零點,從而求解.

解答 解:若函數(shù)f(x)=x2+ln(x+a)與g(x)=x2+ex-12(x<0)圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點,
則等價為g(x)=f(-x),在x<0時,方程有解,
即x2+ex-12=x2+ln(-x+a),
即ex-12-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解,
令m(x)=ex-12-ln(-x+a),
則m(x)=ex-12-ln(-x+a)在其定義域上是增函數(shù),
且x→-∞時,m(x)<0,
若a≤0時,x→a時,m(x)>0,
故ex-12-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解,
若a>0時,
則ex-12-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解可化為:
e0-12-ln(a)>0,
即lna<12,
故0<a<e
綜上所述,a∈(-∞,e).
故答案為:(-∞,e).

點評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的圖象與方程的根及函數(shù)的零點之間的關(guān)系,進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵,綜合性較強,難度較大.

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