8.已知函數(shù)$f(x)=sinx-2\sqrt{3}{sin^2}\frac{x}{2}$
(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間;
(2)求f(x)在區(qū)間$[0,\frac{2}{3}π]$上的最小值.

分析 (1)利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體,放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)x∈$[0,\frac{2}{3}π]$上時(shí),求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),即可求出f(x)的最小值.

解答 解:函數(shù)$f(x)=sinx-2\sqrt{3}{sin^2}\frac{x}{2}$=sinx-$\sqrt{3}(1-cosx)$=sinx+$\sqrt{3}$cosx-$\sqrt{3}$=2sin(x+$\frac{π}{3}$)-$\sqrt{3}$.
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$.
由$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$是單調(diào)減函數(shù),
解得:$\frac{π}{6}+2kπ≤x≤\frac{7π}{6}+2kπ$,(k∈Z)
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{6}+2kπ$,$\frac{7π}{6}+2kπ$],(k∈Z).
(2)∵x∈$[0,\frac{2}{3}π]$上,則x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$,π],
根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=π時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值.
即$f(x)_{min}=sinπ-\sqrt{3}=-\sqrt{3}$
故得f(x)在區(qū)間$[0,\frac{2}{3}π]$上的最小值為$-\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

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,則直線l與平面A1BD所成的角的取值范圍是( 。
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A.2<k<5B.k>4C.k<1D.k<2或k>5

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