Question

如圖,橢圓C:+=1的焦點(diǎn)在x軸上,左右頂點(diǎn)分別為A1,A,上頂點(diǎn)為B,拋物線(xiàn)C1,C2分別以A,B為焦點(diǎn),其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O,C1與C2相交于直線(xiàn)y=x上一點(diǎn)P.

(1)求橢圓C及拋物線(xiàn)C1,C2的方程.

(2)若動(dòng)直線(xiàn)l與直線(xiàn)OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M,N,已知點(diǎn)Q(-,0),求·的最小值.

 

Answer 1

(1) 橢圓C:+=1 C1:y2=16x C2:x2=4y (2)

【解析】(1)由題意A(a,0),B(0,),設(shè)拋物線(xiàn)C1的方程為y2=4ax,拋物線(xiàn)C2的方程為x2=4y,由P(8,8),∴橢圓C:+=1.

拋物線(xiàn)C1:y2=16x,

拋物線(xiàn)C2:x2=4y.

(2)由(1)得直線(xiàn)OP的斜率為,

∴直線(xiàn)l的斜率k=-,

設(shè)直線(xiàn)l:y=-x+b,

由消去y,得

5x2-8bx+8b2-16=0.

∵動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn),

∴Δ=128b2-20(8b2-16)>0.

∴-<b<.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

∴x1+x2=,x1x2=.

y1y2=(-x1+b)(-x2+b)

=x1x2-(x1+x2)+b2=.

∵=(x1+,y1),=(x2+,y2),

∴·=(x1+)(x2+)+y1y2

=x1x2+(x1+x2)+2+y1y2

=,

∵-<b<,

∴當(dāng)b=-時(shí),·取得最小值,其最小值為

×(-)2+×(-)-=-.