Question

【題目】定義域為R的函數(shù)f（x）滿足：對于任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當x＜0時，f（x）＞0恒成立，且nf（x）=f（nx）．（n是一個給定的正整數(shù)）．

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（2）證明f（x）為減函數(shù)；若函數(shù)f（x）在[-2，5]上總有f（x）≤10成立，試確定f（1）應(yīng)滿足的條件；

（3）當a＜0時，解關(guān)于x的不等式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）f（1）[-5，0）；（3）見解析

【解析】

（1）利用函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)關(guān)系，利用賦值法進行證明

（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義以及最值函數(shù)成立問題進行證明即可

（3）利用抽象函數(shù)關(guān)系，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性定義轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，討論參數(shù)的范圍進行求解即可

（1）f（x）為奇函數(shù)，證明如下；

由已知對于任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立．

令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．

令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=0．

所以對于任意x，都有f（-x）=-f（x）．

所以f（x）是奇函數(shù)．

（2）設(shè)任意x1，x2且x1＜x2，則x2-x1＞0，由已知f（x2-x1）＜0，

又f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0，得f（x2）＜f（x1），

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和奇函數(shù)的性質(zhì)知f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．

所以f（x）在[-2，5]上的最大值為f（-2）．

要使f（x）≤10恒成立，當且僅當f（-2）≤10，

又因為f（-2）=-f（2）=-f（1+1）=-2f（1）,所以f（1）≥-5．

又x＞1，f（x）＜0，所以f（1）∈[-5，0）．

（3）∵．，

∴f（ax2）-f（a2x）＞n2[f（x）-f（a）]．

所以f（ax2-a2x）＞n2f（x-a），

所以f（ax2-a2x）＞f[n2（x-a）]，

因為f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，

所以ax2-a2x＜n2（x-a）．

即（x-a）（ax-n2）＜0，

因為a＜0，所以（x-a）（x）＞0．

討論：

①當a＜＜0，即a＜-n時，原不等式的解集為{x|x＞或x＜a}；

②當a=，即a=-n時，原不等式的解集為{x|x≠-n}；

③當＜a＜0，即-n＜a＜0時，原不等式的解集為{x|x＞a或x＜}．