試題分析:(Ⅰ)根據定義法確定軌跡為拋物線,然后借助圓C被x軸截得弦長的最小值為1求解參數m的值;(Ⅱ)利用導數的幾何意義求解拋物線的切線方程,然后將三角形面積進行表示,其底邊用弦長公式進行表示,高用點到直線的距離進行表示,得到含有直線m的斜率k的等式.
試題解析:(Ⅰ)設圓C的圓心坐標為(x,y),則其半徑r=
.
依題意,r
2-y
2=1,即x
2+(y-1)
2-y
2=1,
整理得曲線E的方程為x
2=2y. …4分
(Ⅱ)設A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),則y
1=
,y
2=
.
設直線m方程為y=kx+
,代入曲線E方程,得
x
2-2kx-1=0,則x
1+x
2=2k. …6分
對y=
x
2求導,得y¢=x.
于是過點A的切線為y=x
1(x-x
1)+
,即y=x
1x-
. ①
由①同理得過點B的切線為y=x
2x-
. ②
設C(x
0,y
0),由①、②及直線m方程得
x
0=
=k,y
0=x
1x
0-
=-
. 8分
M為拋物線的焦點,y=-
為拋物線的準線,由拋物線的定義,得
|AB|=y(tǒng)
1+
+y
2+
=k(x
1+x
2)+2=2(k
2+1).
點C到直線m的距離d=
=
. 10分
所以△ABC的面積S=
|AB|·d=(k
2+1)
.
由已知(k
2+1)
=2
,有且僅有k=±1.
故直線m的方程為y=±x+
. 12分