Question

已知函數(shù)f(x)＝3^x，且f(a＋2)＝18，函數(shù)g(x)＝3^ax－4^x的定義域為[0，1]．

(1)寫出函數(shù)g(x)的解析式；

(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間，并用函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明；

(3)求函數(shù)g(x)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)因為f(x)＝3^x，所以f(a＋2)＝3^a+2＝18，得3^a＝2．又g(x)＝3^ax－4^x＝(3^a)^x－4^x，所以g(x)＝2^x－4^x，x∈[0，1]．

　　(2)令t＝2^x，y＝t－t²＝－(t²－t)＝－＋．因為x∈[0，1]，且函數(shù)t＝2^x在[0，1]上單調(diào)遞增，所以t∈[1，2]．因為＜1，所以函數(shù)y＝t－t²在[1，2]上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，1]．證明如下：任取x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，則g(x₂)－g(x₁)＝2－4－2＋4＝(2－2)－(2－2)(2＋2)＝(2－2)·(1－2－2)．因為0≤x₁＜x₂≤1，所以2＞2，且1≤2＜2，1＜2≤2，所以2＜2＋2＜4，所以2－2＞0，且－3＜1－2－2＜－1＜0，所以g(x₂)－g(x₁)＜0，即g(x₁)＞g(x₂)．故函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減．

　　(3)因為g(x)在[0，1]上是減函數(shù)，所以g(1)≤g(x)≤g(0)．因為g(1)＝2¹－4¹＝－2，g(0)＝2⁰－4⁰＝0，所以－2≤g(x)≤0．所以函數(shù)g(x)的值域為[－2，0]．