Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中有兩定點(diǎn)F1(0，

3

)，F2(0，-

3

)，若動(dòng)點(diǎn)M滿足|

MF1

|+|

MF2

|=4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+t交曲線C于A、B兩點(diǎn)，交直線l₁：y=k₁x于點(diǎn)D，若k•k₁=-4，證明：D為AB的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用由橢圓定義可知點(diǎn)M的軌跡為橢圓方程，利用焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y，利用韋達(dá)定理分別表示出中點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，聯(lián)立L和直線l₁求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，推斷出D為AB的中點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）∵|

MF1

|+|

MF2

|=4＞2

3

由橢圓定義可知，點(diǎn)M的軌跡C是以(0，

3

)，(0，-

3

)）為焦點(diǎn)，
長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓，它的短半軸長(zhǎng)b=

22-( 3 )2

=1
故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．
（Ⅱ）依題意，聯(lián)立方程組

y=kx+t x2+ y2 4 =1

消去y得：（4+k²）x²+2ktx+t²-4=0
∴

x1+x2

2

=

-kt

4+k2

，

y1+y2

2

=k•

x1+x2

2

+t=

4t

4+k2

即AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(

-kt

4+k2

，

4t

4+k2

)
解方程組

y=kx+t y=k1x

得直線l與l₁的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

t

k1-k

，

k1t

k1-k

)
由k•k₁=-4得k1=-

4

k

，代入D點(diǎn)坐標(biāo)即為(

-kt

4+k2

，

4t

4+k2

)
綜上可知，D為AB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生分析推理能力和基本運(yùn)算能力．