Question

【題目】如圖，在多面體中，正三角形所在平面與菱形所在的平面垂直， 平面，且.

（1）判斷直線平面的位置關系，并說明理由；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）過點作于點，連接，通過計算可得，可進一步得，可得線面平行；（2）以為坐標原點， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系.利用二面角的法向量與半平面的法向量的關系求得二面角的余弦值．

試題解析：（1）直線與平面平行，理由如下：

如圖，過點作于點，連接，因為在正三角形中， ，所以，

因為平面平面平面，平面平面.

（2）如圖，連接，由（1）可得為的中點，又，故為等邊三角形，

所以.

又平面，故兩兩垂直，以為坐標原點， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則,

所以，

設平面的法向量為，則，即，

取，則是平面的一個法向量，

設平面的法向量為，

則，即，

取，得是平面的一個法向量.

所以，

由圖可知二面角為鈍角，故二面角的余弦值是.