Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=an+1

3

2

a_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₂=

1

4

，求a₃，a₄，并猜想a₂₀₀₈的值（不需證明）；
（Ⅱ）記b_n=a₁a₂…a_n（n∈N^*），若b_n≥2

2

對(duì)n≥2恒成立，求a₂的值及數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知a3=a1a2-

3

2

=24，a4=a2a3-

3

2

=2-8.由此可猜想|a_n|的通項(xiàng)為a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n項(xiàng)和，則b_n=2^S_n．由題設(shè)知x₁=1且xn=

3

2

xn+1+xn+2(n∈N*)；Sn=x 1+x2++xn≥

3

2

(n≥2)．由此入手能夠求出a₂的值及數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（Ⅰ）因a₁=2，a₂=2^-2，故a3=a1a2-

3

2

=24，
a4=a2a3-

3

2

=2-8.
由此有a₁=2^（-2）0，a₂=2^（-2）2，a₃=2^（-2）2，a₄=2^（-2）3，、
故猜想|a_n|的通項(xiàng)為a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n項(xiàng)和，則b_n=2^S_n．
由題設(shè)知x₁=1且xn=

3

2

xn+1+xn+2(n∈N*)；①
Sn=x 1+x2++xn≥

3

2

(n≥2)．②
因②式對(duì)n=2成立，有

3

2

≤x1+x2，又x1=1得x2≥

1

2

．③
下用反證法證明：x2≤

1

2

．假設(shè)x2＞

1

2

．
由①得xn+2+2xn+1=(xn+2+

3

2

xn+1)+

1

2

(xn+1+2xn)．
因此數(shù)列|x_n+1+2x_n|是首項(xiàng)為x₂+2，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
故xn+1-

1

2

xn=(x2-

1

2

)

1

2n-1

(n∈N*)．④
又由①知xn+2-

1

2

xx+1=(xn-

3

2

xn+1)-

1

2

xn+1=-2(xn+1-

1

2

xn)，
因此是|xn+1-

1

2

xn|是首項(xiàng)為

1

2n-1

，公比為-2的等比數(shù)列，
所以xn+1-

1

2

xn=(x2-

1

2

)(-2)n-1(n∈N*)．⑤
由④-⑤得

5

2

Sn=(x2+2)

1

2n-1

-(x2-

1

2

)(-2)n-1(n∈N*)．⑥
對(duì)n求和得

5

2

xn=(x2+2)(2-

1

2n-1

)-(x2-

1

2

)

1-(-2)2

3

(n∈N*)．⑦
由題設(shè)知S2k+1≥

3

2

，且由反證假設(shè)x2＞

1

2

有(x2+2)(2-

1

22k

)-(x2-

1

2

)

22k+1+1

3

≥

15

4

(k∈N*)．
從而(x2-

1

2

)•

22k+1+1

3

≤(x2+2)(2-

1

22k

)-

15

4

＜2x2+

1

4

(k∈N*)．
即不等式2^2k+1＜

6x2+ 3 4

x2- 1 2

-1
對(duì)k∈N^*恒成立．但這是不可能的，矛盾．
因此x₂≤

1

2

，結(jié)合③式知x₂=

1

2

，因此a₂=2^*2=

2

．
將x₂=

1

2

代入⑦式得
S_n=2-

1

2n-1

（n∈N*），
所以b_n=2Sn=22-

1

2n-1

（n∈N*）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題．仔細(xì)解答，避免出錯(cuò)．