Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax-1的導函數(shù)為f^′（x），g（x）=f^′（x）-ax-3．
（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求實數(shù)x的取值范圍；
（3）若x•g^′（x）+lnx＞0對一切x≥2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=-2時，f′（x）=3x²-6．令f′（x）=0得，
故當或x＞時f′（x）＞0，f′（x）單調遞增；
當時f^′（x）＜0，f（x）單調遞減．
所以函數(shù)f′（x）的單調遞增區(qū)間為（，[）；單調遞減區(qū)間為；

（2）因f′（x）=3a²+3a，故g（x）=3x²-ax+3a-3．
令g（x）=h（a）=a（3-x）+3x²-3，要使h（a）＜0對滿足-1≤a≤1的一切a成立，
則，解得；
．

（3）因為g（x^′）=6x-a，
所以X（6x-a）+lnx＞0
即對一切x≥2恒成立．，
令6x²+1-lnx=φ（x），．
因為x≥2，所以φ^′（x）＞0，
故φ（x）在[2，+∞）單調遞增，有φ（x）≥φ（2）=25-ln2＞0．
因此h^′（x）＞0，從而．
所以a．
分析：（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）=x³+3ax-1的導函數(shù)為f^′（x），令f^′（x）＞0，求出單調增區(qū)間；令f^′（x）＜0求出單調減區(qū)間；
（2）若對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，變更主元，轉化為關于a的一次函數(shù)，求出實數(shù)x的取值范圍；
（3）依題意，x•g^′（x）+lnx＞0對一切x≥2恒成立，采取分離參數(shù)的方法，轉化為求函數(shù)的最值問題．
點評：考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值問題，特別是恒成立問題，（2）若對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，變更主元，轉化為關于a的一次函數(shù)，求出實數(shù)x的取值范圍；（3）x•g^′（x）+lnx＞0對一切x≥2恒成立，采取分離參數(shù)的方法，轉化為求函數(shù)的最值問題體現(xiàn)了轉化的思想方法，屬難題．