如圖,已知圓O的直徑AB=4,定直線L到圓心的距離為4,且直線L垂直于直線AB.點P是圓O上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別交L于M、N點.
(1)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓的方程;
(2)當點P變化時,求證:以MN為直徑的圓必過AB上一定點.
建立如圖所示的直角坐標系,⊙O的方程為x2+y2=4,
直線L的方程為x=4.
(1)當點P在x軸上方時,
∵∠PAB=30°,
∴點P的坐標為(1,),
∴lAP:y=(x+2),
lBP:y=-(x-2).
將x=4代入,得M(4,2),N(4,-2
).
∴MN的中點坐標為(4,0),MN=4.
∴以MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=12.
同理,當點P在x軸下方時,所求圓的方程仍是(x-4)2+y2=12.
(2)設點P的坐標為(x0,y0),∴x+y
=4(y0≠0),
∴y=4-x
.
∵lPA:y=(x+2),lPB:y=
(x-2),
將x=4代入,得yM=,
yN=,∴M(4,
),N(4,
),
MN=|-
|=
.
MN的中點坐標為(4,-).
以MN為直徑的圓O′截x軸的線段長度為
2=
==
|y0|=4
,為定值.
∴⊙O′必過AB上一定點(4-2,0).
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年河北衡水中學高三第一次模擬考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題12分)
如圖,已知圓O的直徑AB=4,定直線L到圓心的距離為4,且直線L垂直直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別交L與M、N點。
(Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓方程;
(Ⅱ)當點P變化時,求證:以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點。
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