如圖,已知圓O的直徑AB=4,定直線L到圓心的距離為4,且直線L垂直于直線AB.點P是圓O上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別交L于M、N點.

(1)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓的方程;

(2)當點P變化時,求證:以MN為直徑的圓必過AB上一定點.

建立如圖所示的直角坐標系,⊙O的方程為x2+y2=4,

直線L的方程為x=4.

(1)當點P在x軸上方時,

∵∠PAB=30°,

∴點P的坐標為(1,),

lAP:y=(x+2),

lBP:y=-(x-2).

將x=4代入,得M(4,2),N(4,-2).

∴MN的中點坐標為(4,0),MN=4.

∴以MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=12.

同理,當點P在x軸下方時,所求圓的方程仍是(x-4)2+y2=12.

(2)設點P的坐標為(x0,y0),∴x+y=4(y0≠0),

∴y=4-x.

lPA:y=(x+2),lPB:y=(x-2),

將x=4代入,得yM,

yN,∴M(4,),N(4,),

MN=||=.

MN的中點坐標為(4,-).

以MN為直徑的圓O′截x軸的線段長度為

2

|y0|=4,為定值.

∴⊙O′必過AB上一定點(4-2,0).

練習冊系列答案
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如圖,已知圓O的直徑AB=4,定直線L到圓心的距離為4,且直線L垂直直線AB.點P是圓O上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別交L與M、N點.
(Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓方程;
(Ⅱ)當點P變化時,求證:以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點.

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如圖,已知圓O的直徑AB長度為4,點D為線段AB上一點,且AD=
1
3
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3
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1
3
DB
,點C為圓O上一點,且BC=
3
AC
.點P在圓O所在平面上的正投影為點D,PD=BD.
(1)求證:CD⊥平面PAB;
(2)求點D到平面PBC的距離.

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(本題12分)

如圖,已知圓O的直徑AB=4,定直線L到圓心的距離為4,且直線L垂直直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別交L與M、N點。

(Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓方程;

(Ⅱ)當點P變化時,求證:以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點。

 

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