已知函數(shù)f（x）=（sinx-cosx）•2cosx．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將f（x）按向量
a
平移后圖象關(guān)于原點對稱，求當(dāng)|
a
|最小時的
a
．
分析：（1）利用二倍角公式的變形公式，以及輔助角公式進行化簡變形，從而求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)
a
=(m，n)，然后求出f（x）按
a
平移后所得解析式，根據(jù)該函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱建立等式，從而可求出所求．
解答：解：（1）f（x）=（sinx-cosx）•2cosx=2sinxcosx-2cos2x
=sin2x-cos2x-1=
2
sin（2x-
π
4
）-1，（2分）
所以f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π．（3分）
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
，(k∈Z)得kπ-
π
8
≤x≤kπ+
3π
8
，x≠kπ(k∈Z)
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
π
8
，kπ+
3π
8
]，(k∈Z)．（5分）
（2）設(shè)
a
=(m，n)，則f（x）按
a
平移后得y=
2
sin[2(x-m)-
π
4
]-1+n=
2
sin(2x-2m-
π
4
)-1+n（7分）
因為該函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以
-2m-
π
4
=kπ，k∈Z
n-1=0
，⇒
m=-
kπ
2
-
π
8
，k∈Z
n=1
（9分）
當(dāng)|
a
|最小時，
a
=(-
π
8
，1)…（10分）
點評：本題主要考查了三角恒等變換，以及函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間，同時考查了圖象的平移和運算求解的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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