Question

已知向量

a

=（cosωx，

3

cosωx），

b

=（sinωx，cosωx）（其中0＜ω≤1），記f（x）=

a

•

b

-

3

2

，且滿足f（x+π）=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-

π

12

，

5π

12

]時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（3）如果關(guān)于x的方程3[f（x）]²+mf（x）-1=0在區(qū)間[-

π

12

，

5π

12

]上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先表示出f（x），利用兩角和公式和二倍角公式化簡，利用f（x+π）=f（x）推斷出函數(shù)的周期，進(jìn)而求得ω，函數(shù)的解析式可得．
（2）根據(jù)x的范圍確定2x+

π

3

的范圍，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．
（3）根據(jù)題意推斷出方程有三個(gè)不相等的根，需要2個(gè)根在[

1

2

，1]，另一個(gè)根在[-

1

2

，

1

2

）上，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求解．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

-

3

2

=cosωxsinωx+

3

cos²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2x=sin（2ωx+

π

3

），
∵f（x+π）=f（x）．
∴函數(shù)的周期為π，
∴T=

2π

2ω

=π，ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）．
（2）∵x∈[-

π

12

，

5π

12

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬-

1

2

，1]．
（3）要使方程有三個(gè)不相等的根，需要2個(gè)根在[

1

2

，1]，另一個(gè)根在[-

1

2

，

1

2

）上，
令t=f（x），g（t）=3t²+mt-1，
則有

g(1)=3+m-1＞0 g( 1 2 )= 3 4 + t 2 -1≤0 g(- 1 2 )= 3 4 - t 2 -1≥0

，求得-2＜m≤-

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化與化歸的思想．