Question

（本題滿分15分）如圖，已知長(zhǎng)方形中，,為的中點(diǎn). 將沿折起，使得平面平面.

（1）求證：  

（2）點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)二面角大小為時(shí)，試確定點(diǎn)的位置.

           

Answer 1

(本題滿分15分)

解法一 （1）由于,則,……………………2分

又平面平面，平面平面=,平面,故平面.                                    ………………………4分

   又平面,從而有.              ………………………8分

(2)過(guò)點(diǎn)E作MB的平行線交DM于F，由平面得平面ADM; 在平面ADM中過(guò)點(diǎn)F作AM的垂線，垂足為H，連接HE，則即為二面角的

平面角，為.               …………………………………………………………11分

   設(shè)，則在中，

由,則.

由.

                                               ………………………………13分

故當(dāng)E位于線段DB間，且時(shí)，二面角大小為

                                               ………………………………15分

解法二.取AM的中點(diǎn)O，AB的中點(diǎn)B，則兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.根據(jù)已知條件，得

,,,  ………2分

（1）由于,……………………………………4分

則,故.……………………6分

(2)設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E,并設(shè)，

則

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.（其中）……………………8分

易得平面ADM的法向量可以取，……………………………………9分

設(shè)平面AME的法向量為，則,

則

則，取         …………11分

由于二面角大小為，則     

，由于，故解得.………………13分

故當(dāng)E位于線段DB間，且時(shí)，二面角大小為

                                                    ……………………15分