Question

 已知點(diǎn)F(0,1)，直線(xiàn)l：y＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為Q，且·＝·.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)已知圓M過(guò)定點(diǎn)D(0,2)，圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)|DA|＝l₁，|DB|＝l₂，求＋的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：(1)設(shè)P(x，y)，則Q(x，－1)，

∵·＝·，

∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)．

即2(y＋1)＝x (y－1)，即x²＝4y，

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²＝4y.……………………………………………4分

(2)設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a，b)，則a²＝4b.                          ①

圓M的半徑為|MD|＝.

圓M的方程為(x－a)²＋(y－b)²＝a²＋(b－2)².

令y＝0，則(x－a)²＋b²＝a²＋(b－2)²，

整理得，xax＋4b－4＝0.                                      ②

由①、②解得x＝a±2.

不妨設(shè)A(a－2,0)，B(a＋2,0)，

∴l₁＝，l₂＝.

∴＋＝＝

＝2＝2，                                ③

當(dāng)a≠0時(shí)，由③得，＋＝2≤2＝2.

當(dāng)且僅當(dāng)a＝±2時(shí)，等號(hào)成立．

當(dāng)a＝0時(shí)，由③得，＋＝2.

故當(dāng)a＝±2時(shí)，＋的最大值為2.………………………………………10分