Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=AB=BC=AC=

2

SB=

2

SC，O為BC中點．
（1）求證：SO⊥平面ABC
（2）在線段AB上是否存在一點E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為

15

5

？若存在，確定E點位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標系，利用兩平面的法向量的夾角公式即可得出．

解答：（1）證明：連接AO，設(shè)SB=a，則 AO=

6

2

a，SO=

2

2

a，
又∵SA=

2

a，∴SO²+OA²=SA²，∴SO⊥OA．
∵SC=SB，∴SO⊥BC．
又∵BC∩OA=O，
∴SO⊥平面ABC．
（2）解：在線段AB上存在一點E是線段AB的中點時，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為

15

5

．下面給出證明：
如圖以O(shè)為原點，以O(shè)A，OB，OS所在直線分別為x，y，z軸建系．
則有O（0，0，0），S(0，0，

2

2

a)，C(0，-

2

2

a，0)，B(0，

2

2

a，0)，A(

6

2

a，0，0)．
∴

AB

=(-

6

2

a，

2

2

a，0)，

SC

=(0，-

2

2

a，-

2

2

a)．
假設(shè)存在E，設(shè)

BE

=λ

BA

，則

CE

=

CB

+

BE

=(0，

2

a，0)+(

6

2

aλ，-

2 aλ

2

，0)，
∴

CE

=(

6

2

λa，

2

a-

2

2

aλ，0)．
設(shè)平面SCE的法向量為

n

=(x，y，z)．
由

n • CE =0 n • SC =0

得

6 2 aλx+( 2 a- 2 2 aλ)y=0 - 2 ay 2 - 2 a 2 z=0

，化為

3 λx+(2-λ)y=0 y+z=0

，令y=-1，則z=1，x=

2-λ

3 λ

．
∴

n

=(

2-λ

3 λ

，-1，1)．
平面SBC的法向量為

m

=(1，0，0)，∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

2-λ 3λ

( 2-λ 3 λ )2+1+1

=

15

5

，解得λ=

1

2

．
∴當E為AB中點時，二面角B-SC-E的平面角的余弦值為

15

5

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系利用兩平面的法向量的夾角公式求二面角的余弦值、及勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．