Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，與直線y=b相切的⊙F₂交橢圓于點(diǎn)E，且E是直線EF₁與⊙F₂的切點(diǎn)，則橢圓的離心率為

5

3

．

Answer 1

分析：作出圖形，根據(jù)橢圓的定義，可得到EF₁+EF₂=2a，依題意EF12+EF22=F1F22=4c²，再由⊙F₂與直線y=b相切，可得EF₂=b，
從而有（2a-b）²+b²=4c²，整理即可求得橢圓的離心率．

解答：解：依題意，作圖如右：
∵EF₁⊥EF₂，⊙F₂交橢圓于點(diǎn)E，
∴EF₁+EF₂=2a，
EF12+EF22=F1F22=（2c）²=4c²．①
又⊙F₂與直線y=b相切，
∴EF₂=b，②
∴EF₁=2a-b，③
將②③代入①得：（2a-b）²+b²=4c²，
∴4a²+2b²-4ab=4c²，
∴2（a²-c²）=b（2a-b），即2b²=b（2a-b），
∵b≠0，
∴3b=2a，
∴4a²=9b²=9（a²-c²），
∴5a²=9c²，即e²=

c2

a2

=

5

9

，
∴e=

c

a

=

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查直線與圓相切，考查方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，屬于難題．