Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，S_n為它的前n項(xiàng)和．
（1）用S_n表示S_n+1；
（2）是否存在自然數(shù)c和k，使得成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分別表示出s_n與s_n+1，對(duì)比找出其關(guān)系即可；
（2）假設(shè)存在自然數(shù)c和k，利用（1）的結(jié)論及s_k的范圍，推出c的可能取值，然后逐一驗(yàn)證即可．
解答：解（1）由，得．
（2）要使，只要．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213255628300233/SYS201310232132556283002021_DA/4.png">，所以，
故只要．①
因?yàn)镾_k+1＞S_k（k∈N），所以，
又S_k＜4，故要使①成立，c只能取2或3．
當(dāng)c=2時(shí)，因?yàn)镾₁=2，所以當(dāng)k=1時(shí)，c＜S_k不成立，從而①不成立．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213255628300233/SYS201310232132556283002021_DA/8.png">，由S_k＜S_k+1（k∈N），得，所以當(dāng)k≥2時(shí)，，從而①不成立．
當(dāng)c=3時(shí)，因?yàn)镾₁=2，S₂=3，
所以當(dāng)k=1，2時(shí)，c＜S_k不成立，從而①不成立．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213255628300233/SYS201310232132556283002021_DA/11.png">，又，
所以當(dāng)k≥3時(shí)，，從而①不成立．
故不存在自然數(shù)c、k，使成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及不等式的有關(guān)知識(shí)，利用了極限思想及分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性和邏輯推理性較強(qiáng)，難度較大．