Question

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，且AE=1，BF=

1

2

，將此正方形沿DE、DF折起，使點(diǎn)A、C重合于點(diǎn)P，則三棱錐P-DEF的體積是（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  5

  6

• C、

  2 3

  9

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：根據(jù)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，且AE=1，BF=

1

2

，將此正方形沿DE、DF折起，使點(diǎn)A、C重合于點(diǎn)P，可知DP⊥PE，DP⊥PF，PE∩PF=P，故得到DP⊥面PEF，因此要求三棱錐P-DEF的體積，即求三棱錐D-PEF的體積，利用余弦定理求得cos∠PEF=0，進(jìn)而求得sin∠PEF，利用三角形面積公式求得S△EPF=

1

2

PE•EF，代入體積公式即可求得結(jié)論．

解答：解：根據(jù)題意知DP⊥PE，DP⊥PF，PE∩PF=P，
∴DP⊥面PEF，
而DP=2，EF=

5

2

，PE=1，PF=

3

2

，
由余弦定理得cos∠PEF=

1+ 5 4 - 9 4

2×1× 3 2

=0，
∴sin∠PEF=1，∴S△EPF=

1

2

PE•EF=

1

2

×1×

5

2

=

5

4

，
∴V_P-DEF=V_D-PEF=

1

3

×2×

5

4

=

5

6

，
故選B．?

點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題．本題主要考查了折疊問題，解決此題的關(guān)鍵是抓住折疊前后不變的量解決問題，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．