Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（I）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）當a=2時，f（x）=x²-5x+2lnx，由，知f′（1）=2-5+2=-1，由此能夠求出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（II）=，令f′（x）=0，得．由此進行分類討論，能夠求出結果．
解答：解：（I）當a=2時，f（x）=x²-（2a+1）x+alnx=x²-5x+2lnx，
∴，
∴f′（1）=2-5+2=-1，
∵f（1）=1-5=-4，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：x+y+3=0．
（II）=，
令f′（x）=0，得．
①當a時，由f′（x）＞0，得x＞a，或，
f（x）在，（a，+∞）是單調遞增．
由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在上單調遞減．
②當a=時，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
③當時，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，或x＞，
∴f（x）在（0，a），（）上單調增加，
由f′（x）＜0，得a＜x＜，
∴f（x）在（a，）上單調遞減．
④當a≤0時，由f′（x）＞0，得x＞，
∴f（x）在（，+∞）上單調遞增．
由f′（x）＜0，得0＜x＜，
∴f（x）在（0，）上單調遞減．
點評：本題考查利用導數(shù)求曲線上某點處的切線方程的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數(shù)的單調性的靈活運用．