已知函數(shù)f(x)=xlnx.
⑴討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
⑵對于任意正實(shí)數(shù)x,不等式f(x)>kx-恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
⑶是否存在最小的正常數(shù)m,使得:當(dāng)a>m時(shí),對于任意正實(shí)數(shù)x,不等式f(a+x)<f(a)·ex恒成立?給出你的結(jié)論,并說明結(jié)論的合理性.
(1)令,得x.
當(dāng)x∈(0,)時(shí),
;當(dāng)x∈(
)時(shí),
.
所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.(3分)
(2)由于x>0,所以.
構(gòu)造函數(shù),則令
,得
.
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
所以函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值,即
.
因此所求的k的取值范圍是.(7分)
(3)結(jié)論:這樣的最小正常數(shù)存在. 解釋如下:
.
構(gòu)造函數(shù),則問題就是要求
恒成立.(9分)
對于求導(dǎo)得
.
令,則
,顯然
是減函數(shù).
又,所以函數(shù)
在
上是增函數(shù),在
上是減函數(shù),而
,
,
.
所以函數(shù)在區(qū)間
和
上各有一個(gè)零點(diǎn),令為
和
,并且有:在區(qū)間
和
上,
即
;在區(qū)間
上,
即
.從而可知函數(shù)
在區(qū)間
和
上單調(diào)遞減,在區(qū)間
上單調(diào)遞增.
,當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.還有
是函數(shù)的極大值,也是最大值.
題目要找的,理由是:
當(dāng)時(shí),對于任意非零正數(shù)
,
,而
在
上單調(diào)遞減,所以
一定恒成立,即題目所要求的不等式恒成立,說明
;
當(dāng)時(shí),取
,顯然
且
,題目所要求的不等式不恒成立,說明
不能比
�。�
綜合可知,題目所要尋求的最小正常數(shù)就是
,即存在最小正常數(shù)
,當(dāng)
時(shí),對于任意正實(shí)數(shù)
,不等式
恒成立.(12分)
(注意:對于和
的存在性也可以如下處理:
令,即
.作出基本函數(shù)
和
的圖像,借助于它們的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)很容易知道方程
有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根
和
,且
,
(實(shí)際上
),可知函數(shù)
在區(qū)間
和
上單調(diào)遞減,在區(qū)間
上單調(diào)遞增.
,當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.還有
是函數(shù)的極大值,也是最大值.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)作出函數(shù)f(x)的圖像;
(3)根據(jù)圖像指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(4)根據(jù)圖像寫出不等式f(x)>0的解集;
(5)求當(dāng)x∈[1,5)時(shí)函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)與冪函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練(河北) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R),其中x∈[0,15],a>0,且a≠1.
(1)若1是關(guān)于x的方程f(x)-g(x)=0的一個(gè)解,求t的值;
(2)當(dāng)0<a<1時(shí),不等式f(x)≥g(x)恒成立,求t的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江西省高二下學(xué)期第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.
(1)當(dāng)a=0時(shí),解不等式f(x)≥g(x);
(2)若任意x∈R,f(x)g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆新課標(biāo)高三配套第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3+
x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-3,-1]上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖南省、岳陽縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分13分)(第一問8分,第二問5分)
已知函數(shù)f(x)=2lnx,g(x)=ax2+3x.
(1)設(shè)直線x=1與曲線y=f(x)和y=g(x)分別相交于點(diǎn)P、Q,且曲線y=f(x)和y=g(x)在點(diǎn)P、Q處的切線平行,若方程f(x2+1)+g(x)=3x+k有四個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)F(x)滿足F(x)+x[f′(x)-g′(x)]=-3x2-(a+6)x+1.其中f′(x),g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù);試問是否存在實(shí)數(shù)a,使得當(dāng)x∈(0,1]時(shí),F(x)取得最大值,若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
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