Question

如圖，在四面體ABCD中，DA=DB=DC=1，且DA，DB，DC兩兩互相垂直，點(diǎn)O是△ABC的中心，將△DAO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DA與BC所成角的余弦值的取值范圍是（　�。�

• A、[0， 

  6

  3

  ]
• B、[0， 

  3

  2

  ]
• C、[0， 

  2

  2

  ]
• D、[0， 

  3

  3

  ]

Answer 1

分析：根據(jù)異面直線所成角的定義，可得當(dāng)直線DA與直線BC垂直時(shí)它們的所成角是90°，達(dá)到最大值．由直線與平面所成角的性質(zhì)，當(dāng)點(diǎn)A滿足直線BC與OA平行時(shí)，直線DA與直線BC所成角等于∠OAD，達(dá)到最小值．由此結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算，即可得到DA與BC所成角的余弦值的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意，可得在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)直線DA與直線BC垂直時(shí)它們的所成角為90°，
此時(shí)兩條直線所成的角的余弦值為0，達(dá)到最小值．
當(dāng)點(diǎn)A滿足直線BC與OA平行時(shí)，DA與BC所成的角等于∠OAD，由直線與平面所成角的性質(zhì)，可得此時(shí)兩條直線所成的角達(dá)到最小值，余弦值達(dá)到最大值．
∵DA=DB=DC=1，且DA，DB，DC兩兩互相垂直，
∴AB=BC=CA=

2

，得到△ABC是邊長(zhǎng)為

2

的等邊三角形，
因此圓0的半徑R=

3

3

AB=

6

3

，
設(shè)直線BC與OA平行時(shí)的點(diǎn)A的位置為A'，
∴Rt△AOD中，cos∠OA'D=

OA′

A′D

=

6

3

，即DA與BC所成的余弦值最大值為

6

3

，
綜上所述，直線DA與直線BC所成角余弦值的取值范圍是[0，

6

3

]．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出正三棱錐中，在Rt△AOD旋轉(zhuǎn)過程中求直線DA與直線BC所成角余弦值的取值范圍．著重考查了直線與平面所成角的性質(zhì)、異面直線所成角的定義與求法、余弦的定義與單調(diào)性等知識(shí)，屬于中檔題．