(2012•長(zhǎng)春一模)已知函數(shù)f(x)=
ex,x≥0
-2x,x<0
,則關(guān)于x的方程f[f(x)]+k=0給出下列四個(gè)命題:
①存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有1個(gè)實(shí)根;
②存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有2個(gè)不相等的實(shí)根;
③存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有3個(gè)不相等的實(shí)根;
④存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)根.
其中正確命題的序號(hào)是
①②
①②
(把所有滿足要求的命題序號(hào)都填上).
分析:由解析式判斷出f(x)>0,再求出f[f(x)]的解析式,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象畫(huà)出此函數(shù)的圖象,根據(jù)方程根的幾何意義和圖象,判斷出方程根的個(gè)數(shù)以及對(duì)應(yīng)的k的范圍,便可以判斷出命題的真假.
解答:解:由題意知,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex≥1;當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-2x>0,
∴任意x∈R,有f(x)>0,則f[f(x)]=
eex,x≥0
e-2x,x<0
,畫(huà)出此函數(shù)的圖象如下圖:

∵f[f(x)]+k=0,∴f[f(x)]=-k,
由圖得,當(dāng)-e<k<-1時(shí),方程恰有1個(gè)實(shí)根;
當(dāng)k<-e時(shí),方程恰有2個(gè)實(shí)根,
故①②正確.
故答案為:①②.
點(diǎn)評(píng):本題考查了命題的真假判斷,以及方程根的根數(shù)問(wèn)題,涉及到了分段函數(shù)求值,指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)應(yīng)用,考查了學(xué)生作圖能力和轉(zhuǎn)化思想.
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π
3
)

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OP
=
OQ
,以極點(diǎn)O為原點(diǎn),以極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,求點(diǎn)Q的軌跡的直角坐標(biāo)方程.

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