Question

設(shè)集合S={1，2，3，4，5}，從5的所有非空子集中，等可能的取出一個(gè)．
（1）設(shè)A⊆S，若x∈A，則6-x∈A，就稱子集A滿足性質(zhì)p，求所取出的非空子集滿足性質(zhì)p的概率；
（2）所取出的非空子集的最大元素為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,元素與集合關(guān)系的判斷

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）基本事件總數(shù)n=

C

1 5

+

C

2 5

+

C

3 5

+

C

4 5

+

C

5 5

=31，滿足條件的A的集合共有m=7個(gè)，由此能求出所取出的非空子集滿足性質(zhì)p的概率．
（2）依題意，ξ的所有可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

解答： 解：（1）基本事件總數(shù)n=

C

1 5

+

C

2 5

+

C

3 5

+

C

4 5

+

C

5 5

=31，
∵設(shè)A⊆S，若x∈A，則6-x∈A，
∴A的集合為：{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，
{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共有m=7個(gè)，
∴所取出的非空子集滿足性質(zhì)p的概率P=

m

n

=

7

31

．
（2）依題意，ξ的所有可能取值為1，2，3，4，5
則P（ξ=1）=

C 1 5

31

=

5

31

，
P（ξ=2）=

C 2 5

31

=

10

31

，
P（ξ=3）=

C 3 5

31

=

10

31

，
P（ξ=4）=

C 4 5

31

=

5

31

，
P（ξ=5）=

C 5 5

31

=

1

31

，
故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
P	5 31	10 31	10 31	5 31	1 31

從而Eξ=1×

5

31

+2×

10

31

+3×

10

31

+4×

5

31

+5×

1

31

=

80

31

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．