Question

已知-3≤log

1

2

x≤-1，f(x)=[log2(4m•x)]•(log2

4

x

)(m∈R)．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值g（m）的解析式；
（2）若g（m）≥t+m+2對任意m∈[-4，0]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令log₂x=y∈[1，3]，可得f（x）=（2m+y）（2-t）=-[y-（1-m）]²+m²+2m+1，討論對稱軸 y=1-m，得 函數(shù)f（x）的最大值g（m）的解析式．
（2）根據(jù)題意：t≤g（m）-m-2對任意的m∈[-4，0]恒成立，①當(dāng)m∈[-4，-2）時(shí)，t≤-3m-5，可得t≤1．②當(dāng)m∈[-2，0]時(shí)，t≤m²+m-1恒成立，求得t≤-

5

4

，綜合可得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）∵-3≤log

1

2

x≤-1，∴1≤log₂x≤3，
∵f（x）=（2m+log₂x）（2-log₂x），令log₂x=y∈[1，3]，
∴f（x）=（2m+y）（2-t）=-[y-（1-m）]²+m²+2m+1，…（4分）
討論對稱軸 y=1-m，得  g(m)=

2m+1  ， (m＞0) m2+2m+1 ， (-2≤m≤0) -2m-3 ， (m＜-2)

．…（10分）
（2）根據(jù)題意：t≤g（m）-m-2對任意的m∈[-4，0]恒成立，
①當(dāng)m∈[-4，-2）時(shí)，t≤-3m-5，由于-3m-5關(guān)于m單調(diào)遞減，∴t≤-3（-2）-5=1．…（12分）
②當(dāng)m∈[-2，0]時(shí)，t≤m²+m-1，
而(m2+m-1)min=(-

1

2

)2+(-

1

2

)-1=-

5

4

，∴t≤-

5

4

．…（15分）
綜上，t≤-

5

4

．…（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用以及函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．