Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，直線y=kx與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且k_AB•k_AC=-$\frac{3}{4}$，則此橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出B，C坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用直線的斜率關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A（0，b），直線y=kx與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，
設(shè)B（m，n），則C（-m，-n），k_AB•k_AC=-$\frac{3}{4}$，$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，n=km．n²=$\frac{{^{2}a}^{2}-{^{2}m}^{2}}{{a}^{2}}$，
可得：$\frac{n-b}{m}•\frac{-n-b}{-m}=-\frac{3}{4}$，
即：$\frac{{n}^{2}-^{2}}{{m}^{2}}=-\frac{3}{4}$，
可得：$\frac{\frac{^{2}{a}^{2}-^{2}{m}^{2}}{{a}^{2}}-^{2}}{{m}^{2}}$=$-\frac{3}{4}$，
可得：$-\frac{^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{3}{4}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，
解得e=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線的斜率的求法，注意直線以及橢圓的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．