Question

（2009•大連二模）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，若經(jīng)過點F₁且與x軸、y軸不平行的直線與該橢圓交于A、B兩點，則下列結論錯誤的是

①④

（把你認為錯誤的結論序號都寫上）．
①|(zhì)AB|的取值范圍是[

2b2

a

，2a）；
②以AF₁為直徑的圓與橢圓長軸為直徑的圓相切；
③如果∠F₁AF₂的平分線與F₁F₂交于M點，則橢圓的離心率等于

|MF1|

|AF1|

；
④△ABF₂的面積最大值是a．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可得直線AB繞F₁點旋轉(zhuǎn)時，|AB|最小值為

2b2

a

且最大值為2a，由此可得①是錯誤的；根據(jù)圓與圓的位置關系判斷，結合橢圓的定義和三角形中位線定理，可得以AF₁為直徑的圓與橢圓長軸為直徑的圓相切，故②正確；根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理，結合比例的性質(zhì)和橢圓離心率公式，可得③正確；根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求得△ABF₂的面積最大值不是a，得④錯誤．由此可得本題的正確答案．

解答：解：對于①，將直線AB繞F₁點旋轉(zhuǎn)，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得
當AB與長軸垂直時，|AB|取到最小值，設此時A（-c，n），
則

(-c)2

a2

+

n2

b2

=1，解之得n=

b2

a

（舍負）
因此，|AB|=2n=

2b2

a

，而當AB與橢圓的長軸重合時，|AB|最大值為2a，
由此可得|AB|的取值范圍是[

2b2

a

，2a]，故①是錯誤的；
對于②，設AF₁的中點為N，則以AF₁為直徑的圓以N為圓心
根據(jù)橢圓的定義，得|AF₁|+|AF₂|=2a，所以|AF₂|=2a-|AF₁|，
可得|ON|=

1

2

|AF₂|=a-|NF₁|，
而以長軸為直徑的圓的圓心為O，說明兩圓的圓心距恰好等于半徑之差，
因此以AF₁為直徑的圓與橢圓長軸為直徑的圓相切，故②正確；
對于③，因為AM平分∠F₁AF₂，所以根據(jù)三角形的平分線定理，得

|AF1|

|MF1|

=

|AF2|

|MF2|

=

|AF1|+|AF2|

|MF1|+|MF2|

=

2a

2c

=

1

e

∴橢圓的離心率e=

|MF1|

|AF1|

，故③正確；
對于④，將直線AB繞F₁點旋轉(zhuǎn)，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得
當AB與長軸垂直時，△ABF₂的面積達到最大值
因此，△ABF₂的面積最大值為S_max=

1

2

×

2b2

a

×2c=

2cb2

a

≠a
故△ABF₂的面積最大值不是a，得到④是錯誤的．
綜上所述，只有①④是錯誤的
故答案為：①④

點評：本題給出關于橢圓的幾個命題，要我們找出其中的假命題，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關系、圓一圓的位置關系和三角形面積的最值等知識，屬于中檔題．