Question

已知函數f（x）=2^ax
（1）若f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，求實數a的取值范圍；
（2）若f（x）在[1，2]上的最大值與最小值的和為6，求實數a的值．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據指數函數的單調性的性質和底數之間的關系，求實數a的取值范圍；
（2）根據函數f（x）=2^ax=（2^a）^x，在定義域為單調函數，建立方程即可得到結論．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^ax=（2^a）^x，
∴若f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，
則0＜2^a＜1，即a＜0，
即實數a的取值范圍是a＜0．
（2）∵f（x）=2^ax=（2^a）^x，在定義域為單調函數，
∴若f（x）在[1，2]上的最大值與最小值的和為6，
即f（1）+f（2）=6，
∴2^a+2^2a=6，
即（2^a）²+2^a-6=0，
2^a=2或2^a=-3（舍去），
解得a=1．

點評：本題主要考查指數函數的圖象和性質，利用指數函數的單調性的性質是解決本題的關鍵．