【題目】函數(shù)，.

（Ⅰ）若，設，試證明存在唯一零點，并求的最大值；

（Ⅱ）若關于的不等式的解集中有且只有兩個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知，求得，令，，進而判定出函數(shù)的單調性，求得函數(shù)的最大值.

（Ⅱ）由題意等價于，令，求得，

令，則，即在上單調遞增，求得，，的值，進而得到實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）證明：由題意知，

于是

令，，

∴在上單調遞減.

又，，

所以存在，使得，

綜上存在唯一零點.

解：當，，于是，在單調遞增；

當，，于是，在單調遞減；

故，

又，，，

故.

（Ⅱ）解：等價于.

，

令，則，

令，則，即在上單調遞增.

又，，

∴存在，使得.

∴當，在單調遞增；

當，在單調遞減.

∵，，，

且當時，，

又，，，

故要使不等式解集中有且只有兩個整數(shù)，的取值范圍應為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，，．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）當時，討論函數(shù)與圖像的交點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了研究學生的數(shù)學核素養(yǎng)與抽象（能力指標）、推理（能力指標）、建模（能力指標）的相關性，并將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標的值評定學生的數(shù)學核心素養(yǎng)；若，則數(shù)學核心素養(yǎng)為一級；若，則數(shù)學核心素養(yǎng)為二級；若，則數(shù)學核心素養(yǎng)為三級，為了了解某校學生的數(shù)學核素養(yǎng)，調查人員隨機訪問了某校10名學生，得到如下結果：

學生編號

（1）在這10名學生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標相同的概率；

（2）從數(shù)學核心素養(yǎng)等級是一級的學生中任取一人，其綜合指標為，從數(shù)學核心素養(yǎng)等級不是一級的學生中任取一人，其綜合指標為，記隨機變量，求隨機變量的分布列及其數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

（1）函數(shù)在區(qū)間是單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若存在，使得成立，求滿足條件的最大整數(shù)；

（3）如果對任意的都有成立，求實數(shù)的范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一臺機器由于使用時間較長，生產的零件有一些缺損．按不同轉速生產出來的零件有缺損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

轉速x(轉/秒)

16

4

12

8

每小時生產有缺損零件數(shù)y(個)

11

9

8

5

(1)作出散點圖；

(2)如果y與x線性相關，求出回歸直線方程；

(3)若實際生產中，允許每小時的產品中有缺損的零件最多為10個，那么，機器的運轉速度應控制在什么范圍內？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】8人排成一排照相，分別求下列條件下的不同照相方式的種數(shù).

（1）其中甲、乙相鄰，丙、丁相鄰；

（2）其中甲、乙不相鄰，丙、丁不相鄰；

（要求寫出解答過程，并用數(shù)字作答）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】學校藝術節(jié)對同一類的，，，四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：

甲說：“是或作品獲得一等獎”；

乙說：“作品獲得一等獎”；

丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；

丁說：“是作品獲得一等獎”.

若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是__________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】空間四邊形PABC的各邊及對角線長度都相等，D、E、F、G分別是AB、BC、CA、AP的中點，下列四個結論中成立的是
①BC∥平面PDF
②DF⊥平面PAE
③平面GDF∥平面PBC
④平面PAE⊥平面ABC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)在實數(shù)集上的圖象是連續(xù)不斷的，且對任意實數(shù)存在常數(shù)使得恒成立，則稱是一個“關于函數(shù)”.現(xiàn)有下列“關于函數(shù)”的結論：

①常數(shù)函數(shù)是“關于函數(shù)”；

②正比例函數(shù)必是一個“關于函數(shù)”；

③“關于函數(shù)”至少有一個零點；

④是一個“關于函數(shù)”.

其中正確結論的序號是_______.

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