Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a＞0．
（1）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a=4時(shí)，若函數(shù)y=f（x）-m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），當(dāng)a＞2時(shí)在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0即可．
（2）數(shù)形結(jié)合：當(dāng)a=4時(shí)，用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=f（x）的極大值與極小值，畫(huà)出草圖，借助圖象即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=x²-（a+2）x+alnx可知，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
且f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

因?yàn)閍＞2，所以

a

2

＞1．
當(dāng)0＜x＜1或x＞

a

2

時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)1＜x＜

a

2

時(shí)，f'（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，(

a

2

，+∞)．
（2）當(dāng)a=4時(shí)，f′(x)=

2(x-1)(x-2)

x

．
所以，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	f（x）取極大值	單調(diào)遞減	f（x）取極小值	單調(diào)遞增

所以f(x)極大值=f(1)=12-6×1+4ln1=-5，f(x)極小值=f(2)=22-6×2+4ln2=4ln2-8．

函數(shù)f（x）的圖象大致如下：
所以若函數(shù)y=f（x）-m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
則m∈（4ln2-8，-5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)極值以及作圖能力，數(shù)形結(jié)合思想在解決本題中提供了有力保障．