【答案】
分析:由三視圖可知三棱柱的底面是一個直角邊為a的等腰直角三角形,高為a,由于在C點出現(xiàn)三線垂直,故我們可以以C為原點,分別以CB、CC
1、CA為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系,利用向量法解題.
(1)要證MN∥平面ACC
1A
1,即證直線MN的方向向量與平面ACC
1A
1的法向量垂直;
(2)要證MN⊥平面A
1BC,即證直線MN的方向向量與平面A
1BC的法向量平行;
(3)二面角A-A
1B-C的大小,即求平面A
1BA的法向量與平面A
1BC的法向量的夾角(或其補角)
解答:
解:(Ⅰ)以C為原點,分別以CB、CC
1、CA為x、y、z軸建立坐標(biāo)系,
則AC=BC=CC
1=a,A(0,0,a),C
1(0,a,0),
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,

,
AC
1=(0,a,-a),
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,
∴

,AC
1∥MN,
故MN∥平面ACC
1A
1.
(Ⅱ)∵A
1(0,a,a)、B(a,0,0),
∴
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;
又

,

,
∴MN⊥A
1B,MN⊥CB,
∴MN⊥平面A
1BC.
(Ⅲ)作CH⊥AB于H點,
∵平面ABC⊥平面ABB
1A
1,
∴CH⊥平面A
1BA,
故平面A
1BA的一個法向量為
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,
而平面A
1BC的一個法向量為
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,
∴

,
故二面角A-A
1B-C的大小為
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.
點評:根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀,進而求幾何的表(側(cè)/底)面積或體積,是高考必考內(nèi)容,處理的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷空間幾何體的形狀,一般規(guī)律是這樣的:如果三視圖均為三角形,則該幾何體必為三棱錐;如果三視圖中有兩個三角形和一個多邊形,則該幾何體為N棱錐(N值由另外一個視圖的邊數(shù)確定);如果三視圖中有兩個為矩形和一個多邊形,則該幾何體為N棱柱(N值由另外一個視圖的邊數(shù)確定);如果三視圖中有兩個為梯形和一個多邊形,則該幾何體為N棱柱(N值由另外一個視圖的邊數(shù)確定);如果三視圖中有兩個三角形和一個圓,則幾何體為圓錐.如果三視圖中有兩個矩形和一個圓,則幾何體為圓柱.如果三視圖中有兩個梯形和一個圓,則幾何體為圓臺.